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Die Kreiszahl  (Pi) ist eine mathematische Konstante und eine irrationale Zahl. Die Dezimalbruchentwicklung der Kreiszahl  beginnt mit

Die Kreiszahl beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Pi () bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρεια – peripheria(„Randbereich“) bzw. περίμετρος – perimetros („Umfang“). Die Bezeichnung „“ erschien erstmals 1706 in dem Buch Synopsis palmariorum matheseos (Überblick über die Hauptwerke der [mathematischen] Wissenschaft. Oder: Eine neue Einführung in die Mathematik) des aus Wales stammenden Gelehrten William Jones.

InhaltsverzeichnisBearbeiten

  [Verbergen*1 Mathematische Grunddaten

Mathematische Grunddaten [Bearbeiten]Bearbeiten

[1][2]Kreis mit eingezeichnetem Mittelpunkt (M), Radius (r) und Durchmesser (d)===Definition [Bearbeiten]===

Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl . Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als

In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau).

Irrationalität und Transzendenz [Bearbeiten]Bearbeiten

Die Zahl  ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen , also als Bruch  dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.

Tatsächlich ist die Zahl  sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein Polynom endlichen Grades mit rationalen Koeffizienten gibt, das in  eineNullstelle hat. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist,  nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen [Bearbeiten]Bearbeiten

Da  eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung[1]

 = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 …

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit. Siehe auch den Abschnitt zur Frage der Normalität.[2]

Kettenbruchentwicklung [Bearbeiten]Bearbeiten

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da  irrational ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang.

Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der (regulären) Kettenbruchdarstellung von  keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden.

Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern (Folge A001203 in OEIS):

 = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …]

Eine weitere Kettenbruchdarstellung von  ist[3]

Sphärische Geometrie [Bearbeiten]Bearbeiten

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Der Mittelpunkt des Kreises liegt hier nicht mehr in der Ebene der Kreisfläche. Für Kreise mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist der Abstand des Mittelpunktes zur Kreisebene sehr klein und damit der Unterschied zur normaleneuklidischen Geometrie vernachlässigbar, ansonsten muss die Abweichung jedoch berücksichtigt werden.

Bezeichnung [Bearbeiten]Bearbeiten

Die Kreiszahl  wird auch Archimedes-Konstante und nach Ludolph van Ceulen Ludolphsche Zahl genannt. Der englische Mathematiker William Jones verwendete in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) als erster den griechischen Kleinbuchstaben , um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken.[4]

Bereits einige Zeit früher verwendete der englische Mathematiker William Oughtred in seiner erstmals 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio die Bezeichnung , um das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) auszudrücken, d. h. [5] Dieselben Bezeichnungen verwendete um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac BarrowDavid Gregory verwendete  (1697) für das Verhältnis von Umfang zu Radius.[6]

Leonhard Euler verwendete erstmals 1737 den griechischen Kleinbuchstaben  für die Kreiszahl, nachdem er zuvor p verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Geschichte der Zahl π – von Schätzungen zur Rekordjagd [Bearbeiten]Bearbeiten

Schon vor den Griechen suchten Menschen nach dieser geheimnisvollen Zahl, und obwohl die Schätzungen immer genauer wurden, gelang es erstmals dem griechischen MathematikerArchimedes um 250 v. Chr., die Zahl mathematisch einzugrenzen. In der weiteren Geschichte wurden die Versuche zur größtmöglichen Annäherung an  phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Die alltägliche Praxis drängt zu ersten Schätzungen [Bearbeiten]Bearbeiten

Aus praktischen Erwägungen heraus versuchten die Menschen schon in sehr früher Zeit, dem Phänomen Kreis näher zu kommen. So ist das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises beispielsweise wichtig für die Berechnung der Länge des Beschlages eines Rades, das Binden eines Kranzes oder das Volumen eines Fasses.

Dabei beziehen sich die ältesten Überlieferungen immer auf konkrete Objekte; ob die mathematische Gesetzmäßigkeit erkannt wurde, ist unklar. So ließ der Bibel zufolge König Salomo durch den Kupferschmied Hiram von Tyrus für den israelitischen Tempel ein rundes Wasserbecken herstellen:

„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“

– 1 Kön 7,23 EU

Somit lässt sich für das beschriebene Objekt ein Verhältnis von Umfang zu Durchmesser mit dem Wert 3 folgern. Man kann annehmen, dass eine ungenaue Messung oder Überlieferung von Umfang und Durchmesser vorliegt.

Den Wert 3 nutzte man auch im alten China. Genauer waren die Angaben in Ägypten. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert   . Als Näherung für  benutzten die Babylonier 3 oder auch . In Indien benutzte man in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert    für  . Der indische Mathematiker Aryabhata bestimmte im 6. Jahrhundert den Wert der Kreiszahl für damalige Verhältnisse sehr genau auf 3,1416.

Archimedes von Syrakus [Bearbeiten]Bearbeiten

[3][4]Die Summe der Flächen der grauen „Möndchen“ entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Für Archimedes von Syrakus (um 287 v. Chr. bis 212 v. Chr.) und noch für viele Mathematiker nach ihm war unklar, ob die Berechnung von  nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob  also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von  die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sogar von Kreisteilen eingeschlossen sind, die sich als rationale Zahl darstellen lassen wie die Möndchen des Hippokrates.

Erst 1761/1767 konnte Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von  beweisen, auch wenn die Mathematiker es schon lange vermutet hatten.

Umbeschreibung und Einbeschreibung bis zu 96 Ecken [Bearbeiten]Bearbeiten

[5][6]Archimedes, Gemälde vonDomenico Fetti1620

Archimedes versuchte wie auch andere Forscher, sich mit Vielecken dem Kreis anzunähern und auf diese Weise Näherungen für  zu gewinnen. Er bewies, dass der Umfang eines Kreises sich zu seinem Durchmesser genauso verhält wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, das jeweilige Verhältnis ergibt also in beiden Fällen die gleiche Größe (die Kreiszahl). Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken bis hin zum 96-Eck berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der für die damalige Zeit äußerst bedeutsamen Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als   sein müsse, jedoch größer als  :

Nach Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

Wilbur Knorr korrigiert zu:

       

[7]===Genauer und genauer – von Zu Chongzhi über Ludolph van Ceulen zu John Machin [Bearbeiten]===

Wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen gab es auch in der Mathematik in den westlichen Kulturen eine sehr lange Zeit der Stagnation nach Ende der Antike und während des Mittelalters. Fortschritte in der Annäherung an  erzielten in dieser Zeit vor allem chinesische und persische Wissenschaftler. Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704, später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,14159. Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chong-Zhi (430–501) für die Kreiszahl 3,1415926 <  < 3,1415927, also im Grunde die ersten 7 Dezimalstellen exakt. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch  (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von ), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde. In seinem 1424 abgeschlossenen Werk Abhandlung über den Kreis berechnete der persische Wissenschaftler Dschamschid Masʿud al-Kaschi mit einem 3·228-Eck 2 bereits auf 16 Stellen genau.[7]

Im 16. Jahrhundert erwachte dann auch in Europa die Mathematik wieder aus ihrem langen Schlaf. 1596 gelang es Ludolph van Ceulen, die ersten 35 Dezimalstellen von  zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, führte Ludolph diese bis zum eingeschriebenen -Eck fort. Der Name ludolphsche Zahl erinnert an seine Leistung.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge eingeschriebener -Ecke annäherte. Daraus leitete er als erster eine geschlossene Formel für  in Form eines unendlichen Produktes ab:

[8][9]John Wallis, 16161703

Der englische Mathematiker John Wallis entwickelte 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt:

.

Wallis zeigte 1655 diese Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

[10][11]Gottfried Wilhelm Leibniz. Porträt von B. Chr. Francke, um1700

Allmählich wurden die Rechnungen komplizierter, Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

.

Siehe: Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt, Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen  auch ein Spezialfall (θ = 1) der Reihenentwicklung des Arcustangens, die derschottische Mathematiker James Gregory in den 1670ern fand:

Sie war Grundlage vieler Approximationen von  in der folgenden Zeit. John Machin berechnete mit seiner Formel von 1706 die ersten 100 Stellen von . Seine Gleichung

lässt sich zusammen mit der taylorschen Reihenentwicklung der Arcustangens-Funktion für schnelle Berechnungen verwenden. Diese Formel lässt sich im reellen nur mühsam über das Arctan-Additionstheorem gewinnen. Direkt geht es durch Betrachtung der Argumente der komplexen Zahlen:

.
[12][13]Leonhard Euler17071783, Pastell v. Emanuel Handmann,1753

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in Analysin Infinitorum im ersten Bande  bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (s. auch riemannsche ζ-Funktion):

[14][15]Johann Heinrich Lambert

Johann Heinrich Lambert publizierte 1770 einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

geschrieben wird. Pro Schritt ergeben sich etwa 0,76555 Dezimalstellen, was im Vergleich mit anderen Kettenbrüchen mit Bildungsgesetz hoch ist, sodass sich dieser Kettenbruch besonders gut zur Berechnung von  eignet.

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung  und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber  beträgt etwa 0,04 %. Für alltägliche praktische Situationen war das völlig ausreichend.

Eine andere oft genutzte Näherung war der Bruch  , immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für  ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von  entsprechen, z. B.:

Keine der bislang entwickelten Formeln konnte zur effizienten Berechnung von Näherungswerten für  dienen, auch die erstaunliche Entdeckung des Inders S. Ramanujan aus dem Jahr 1914, basierend auf Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen, war dazu noch nicht geeignet:

Solche effizienteren Verfahren, deren Implementation allerdings Langzahlarithmetik benötigt, sind Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz.[8]

Moderne Näherungsrechnung und Bestimmung [Bearbeiten]Bearbeiten

BBP-Reihen [Bearbeiten]Bearbeiten

1995 entdeckte David Harold Bailey, zusammen mit Peter Borwein und Simon Plouffe, eine neuartige Reihendarstellung (BBP-Reihe) für :

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) erlaubt es auf einfache Weise, die -te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer 2er-Potenzbasis von zu berechnen, ohne dass zuvor die  vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.[9] Baileys Website, enthält eine Herleitung des Verfahrens und auch Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen.

Später wurden für  weitere BBP-Reihen gefunden:

Berechnung mittels Flächenformel [Bearbeiten]Bearbeiten

[16][17]In ein Quadrat eingeschriebener Kreis für die Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass  in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius  lautet

,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge  errechnet sich als

.

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

.

Damit lässt sich  als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben: .

Programm [Bearbeiten]Bearbeiten

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der  näherungsweise berechnet werden kann.

[18][19]Viertelkreis, mit Flächenraster 10×10 angenähert

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von hängt von der Gitterweite ab und wird mittels  kontrolliert. Mit  erhält man z. B. 3,16 und mit  bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon  zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

r = 10000
kreistreffer = 0
quadrattreffer = r ^ 2
for i = 0 to r-1
  x = i + 0.5
  for j = 0 to r-1
    y = j + 0.5
    if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
      kreistreffer = kreistreffer + 1
ausgabe 4*kreistreffer / quadrattreffer { 3.14159388 }

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes  marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Statistische Bestimmung [Bearbeiten]Bearbeiten

[20][21]Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird.

Eine sehr interessante Methode zur Bestimmung von  ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines eingeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist gleich .

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von  lässt sich daher nur mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der folgende Algorithmus ist in der Programmiersprache Java geschrieben:

public static double approximiere_pi(int tropfenzahl) {
  double pi = 0;
  int innerhalb = 0;
  int gesamt = tropfenzahl;
 
  while (tropfenzahl > 0) { // generiere Tropfen und addiere je nach Zugehörigkeit
    double dotx = Math.random();
    double doty = Math.random();
 
    if (dotx*dotx + doty*doty <= 1) {
      // Punkt liegt innerhalb des Kreises
      innerhalb++;
    } else {
      // Punkt liegt außerhalb des Kreises
    }
 
    tropfenzahl--;
  }
 
  pi = 4*(double)innerhalb/gesamt;
  return pi;
}

Buffonsches Nadelproblem [Bearbeiten]Bearbeiten

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem und stammt von Georges-Louis Leclerc de Buffon, der sie 1727 im Alter von 20 Jahren erfand. Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelmanim Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine kurze, ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer gewissen Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Es kommt nicht darauf an, wie man das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt. Die Division der Gesamtzahl  der Nadelwürfe durch die Zahl  der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, ergibt im Ergebnis eine Näherung von , nämlich

wobei  die Länge der Nadeln und  die Abstände der Linien auf dem Papier bezeichnet.[10] Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von .

Geometrische Näherungskonstruktion [Bearbeiten]Bearbeiten

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl  gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Es handelt sich also um eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

Formeln, Anwendungen, offene Fragen [Bearbeiten]Bearbeiten

Formeln, die π enthalten [Bearbeiten]Bearbeiten

Formeln der Geometrie [Bearbeiten]Bearbeiten

In der Geometrie treten die Eigenschaften von  als Kreiszahl unmittelbar hervor.

  • Umfang eines Kreises mit Radius : 
  • Fläche eines Kreises mit Radius : 
  • Volumen einer Kugel mit Radius : 
  • Oberfläche einer Kugel mit Radius : 
  • Volumen eines Zylinders mit Radius  und Höhe : 
  • Volumen eines durch die Rotation des Graphen  um die -Achse definierten Rotationskörpers mit den Grenzen  und : 

Formeln der Analysis [Bearbeiten]Bearbeiten

[22][23]Carl Friedrich Gauß[24][25]Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830

 spielt daneben in vielen mathematischen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

Diese Identität als Kombination der Kreiszahl , der ebenfalls transzendenten eulerschen Zahl , der Imaginären Einheit  und der beiden grundlegenden Zahlen 0 und 1 wird als eine der „schönsten mathematischen Formeln“ angesehen.

Formeln der Funktionentheorie [Bearbeiten]Bearbeiten

Auch in der Funktionentheorie bzw. komplexen Analysis taucht die Kreiszahl auf. Darunter bei

Formeln der Zahlentheorie [Bearbeiten]Bearbeiten

Formeln der Physik [Bearbeiten]Bearbeiten

In der Physik spielt  neben

  • der Kreisbewegung:  (Winkelgeschwindigkeit gleich  mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort  über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht. Somit also zum Beispiel

Außerdem

Anwendungen und Nutzen heutiger Berechnungen [Bearbeiten]Bearbeiten

Die Näherungswerte und -verfahren zur Kreiszahl waren lange Zeit insbesondere für die angewandten Wissenschaften, wie etwa im Ingenieurbau, sehr wertvoll; die neueren Näherungswerte hingegen haben bereits so viele Stellen, dass ein praktischer Nutzen kaum noch gegeben ist.

Beispielsweise genügen zur Berechnung des Kreisumfangs auf einen Millimeter Genauigkeit

  • bei einem Radius von 30 Metern vier Dezimalstellen von ,
  • beim Erdradius zehn Dezimalstellen,
  • bei einem Radius mit dem Abstand Erde-Sonne 15 Dezimalstellen.

Wie viele Stellen sind wohl erforderlich, um den größten in unserem Universum vorstellbaren realen Kreis mit der größten vorstellbaren Genauigkeit zu berechnen? Das Licht des Urknalls in Form der Mikrowellen-Hintergrundstrahlung erreicht uns aus einer Entfernung, die sich als das Produkt des Weltalters (etwa 1,3·1010 a) mit der Lichtgeschwindigkeit (etwa 300.000 km·s-1 oder 9,46·1015 m·a-1) ergibt, also rund 1,3·1026 m. Der Kreis mit diesem Radius hat also einen Umfang von etwa 8,17·1026 m. Die kleinste physikalisch sinnvolle Längeneinheit ist die Planck-Längevon etwa 10-35 m. Der Kreis besteht also aus 8,17·1061 Planck-Längen. Um ihn aus dem gegebenen Radius (vorausgesetzt, dieser wäre auf eine Planck-Länge genau bekannt) mit der Genauigkeit von einer Planck-Länge zu berechnen, würden also schon 62 Dezimalstellen von  ausreichen.

Im August 2010 lag der Rekord bei numerischen Berechnungen bei etwa 5 Billionen Dezimalstellen. Ein praktischer Nutzen dieser Rechnungen liegt in der Möglichkeit, Computer-Hardware und -Software zu testen, da bereits kleine Rechenfehler zu vielen falschen Stellen von  führen.

Offene Frage der Normalität [Bearbeiten]Bearbeiten

Eine zurzeit besonders aktuelle mathematische Frage bezüglich  ist, ob sie eine normale Zahl ist, d. h. ob sie zum Beispiel in einer binären (oder jeder anderen n-ären) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugen würde.

In letzter Konsequenz würde das beispielsweise bedeuten, dass  alle bisher und zukünftig geschriebenen Bücher irgendwo in codierter Binär-Form enthalten muss. Siehe auch das Infinite-Monkey-Theorem.

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der oben erwähnten Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von  zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.[12]

Physiker der Purdue Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von  auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl  entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als  ab.

Bislang ist nicht einmal bekannt, ob nicht ab einer gewissen Stelle beispielsweise nur noch die Ziffern 5 und 6 auftreten.[13]

Sonstiges [Bearbeiten]Bearbeiten

Rekorde und Kuriositäten [Bearbeiten]Bearbeiten

[26][27]Pi-Bodenmosaik am Eingang des Mathematikgebäudes der TU-Berlin*Freunde der Zahl  gedenken zum einen am 14. März der Kreiszahl mit dem Pi-Tag wegen der amerikanischen Datumsnotation 3/14. Zum anderen wird am 22. Juli ein -Näherungstag gefeiert, mit dem die Näherung 22/7 von Archimedes geehrt wird.

  • Im Jahr 1897 wurden im US-Bundesstaat Indiana mit dem Indiana-Pi-Bill-Gesetzentwurf (“for an act introducing a new mathematical truth”) für die Zahl  per Gesetz 4 bzw. 3,2 vorgeschlagen. Der Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin war sicher, die Quadratur des Kreises gefunden zu haben. Er schlug der Regierung den Handel vor, auf alle Tantiemen aus der Anwendung seiner Entdeckung in der mathematischen Aus- und Weiterbildung zu verzichten, wenn seine Entdeckung zum Gesetz erhoben würde. Erst nach der Aufklärung durch einen „gestandenen“ Mathematiker, der von dem Gesetzesvorhaben zufällig in der Zeitung las, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den vom Repräsentantenhaus (Landtag) bereits einstimmig beschlossenen Entwurf auf unbestimmte Zeit. Das Guinness-Buch der Rekorde kennt diese Geschichte etwas anders: „Der ungenaueste Wert von . Im Jahre 1897 verabschiedete die Generalversammlung von Indiana ein Gesetz (Bill Nr. 246), nach dem der Wert von  de jure vier ist.“
  • Die Versionsnummer des Textsatzprogramms TeX von Donald Knuth wird entgegen den üblichen Konventionen der Software-Entwicklung seit den 1990ern so inkrementiert, dass sie sich langsam  annähert. Die aktuelle Version aus dem Jahr 2008 trägt die Nummer 3,1415926.
  • Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl ins Weltall. Sie sind der Meinung, dass andere Zivilisationen diese Zahl kennen müssen, wenn sie das Signal auffangen können.
  • Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 pünktlich um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 freiwillige Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Organisiert wurde der Weltrekord vom Mathematikum in Gießen.

Film, Musik, Kultur und Literatur [Bearbeiten]Bearbeiten

  • 1966 nannte Alfred Hitchcock eine Gruppe von DDR-Fluchthelfern in seinem Film Der zerrissene Vorhang (1966) Pi.
  • 1981 wurde Carl Sagans Buch Contact veröffentlicht. Das Buch beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl  spielt für die spannende und im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle.

[28][29]Pi in der Wiener Opernpassage*1998 veröffentlichte Darren Aronofsky (Requiem for a Dream) den Film „Pi“ (1998), in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als „Maximilian Cohen“) die Weltformel aus  herausfiltern möchte.

  • Auf dem 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial von Kate Bush ist ein Lied der Zahl Pi gewidmet.
  • Im Jahr 2005 benannte sich der bis dahin als „Prinz Porno“ bekannte deutsche Rapper Friedrich Kautz wegen Verwechselungen in Zusammenhang mit seinem Künstlernamen und seiner Stil-Richtung in Prinz Pi um. Seither gilt das Pi-Symbol auch als sein Markenzeichen.
  • Die im November 2006 eröffnete Medieninstallation Pi in der Wiener Opernpassage widmet sich unter anderem der Kreiszahl.
  • Im Film Nachts im Museum 2 (2009) ist die Kreiszahl die Kombination für die Tafel des Ahkmenrah. Die Kombination wird mithilfe von Wackelkopf-Einsteins gelöst und öffnet in dem Film das Tor zur Unterwelt.
  • Die progressive Deathcore-Band After the Burial hat auf ihrem Debütalbum Forging A Future Self das Lied Pi (The Mercury God Of Infinity)veröffentlicht. Es besteht aus einem Akustikgitarrensolo, auf das ein Breakdown folgt, dessen Rhythmus an die ersten 110 Stellen der Kreiszahl angelehnt ist.[14]

Pi-Sport [Bearbeiten]Bearbeiten

→ Hauptartikel: Pi-Sport

Aus dem Lernen von Pi ist ein Sport geworden. Das Memorieren der Zahl Pi gilt als beste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. Der Chinese Chao Lu ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 67.890 Nachkommastellen, welche er am 20. November 2005 fehlerfrei in einer Zeit von 24 Stunden und 4 Minuten aufsagte. Er wird sowohl vom Guinness Book of Records als auch von der Pi World Ranking List als Rekordhalter geführt.

Der inoffizielle Weltrekord im Memorieren von Pi lag im Oktober 2006 bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Den deutschen Rekord hält Jan Harms mit 9.140 Stellen. Für das Memorieren von Pi werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach Geschmack des Gedächtniskünstlers, seinen Begabungen und der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen.

Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es einfache Merksysteme, dazu Pi-Sport - Merkregeln.

Entwicklung der Nachkommastellen von π [Bearbeiten]Bearbeiten

Den Rekord der Berechnung von  hielt 2010 einige Monate lang der in Paris lebende Softwareentwickler Fabrice Bellard mit 2.699.999.990.000 (rund 2,7 Billionen) Stellen.[15] Für die Berechnung benutze Bellard einen handelsüblichen Core-i7-PC. Die Berechnung dauerte insgesamt 131 Tage. 103 Tage für die Binärdarstellung, 13 Tage für eine Plausibilitätsprüfung, 12 Tage für die Umrechnung in die Dezimalform und drei weitere Tage zum Verifizieren, damit man mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit von einem korrekten Ergebnis ausgehen kann.[16]

Mathematiker Jahr Dezimalstellen Methode
Ägypten, Rechenbuch des Ahmes (Papyrus Rhind) ca. 17. Jahrhundert v. Chr. 1 nur beispielhaft
Archimedes ca. 250 v. Chr. 2 96-Eck
Liu Hui nach 263 5 3072-Eck
Zu Chong-Zhi ca. 480 6
Dschamschid Masʿud al-Kaschi ca. 1424 15 -Eck
Ludolph van Ceulen 1596 20
Ludolph van Ceulen 1610 35 -Eck
Jurij Vega 1794 126
(William Shanks) 1853 (527) Reihenentwicklung von    und  . Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von  per Hand berechnet. Im Jahr 1945 wurde entdeckt, dass die letzten 180 Stellen falsch waren.
Levi B. Smith, John W. Wrench 1949 1.120
Daniel Shanks, John W. Wrench 1961 100.265
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura 1982 16.777.206
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo 1987 134.217.700
David und Gregory Chudnovsky 1989 1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi 1997 51.539.600.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi 1999 206.158.430.000
Yasumasa Kanada 2002 1.241.100.000.000 Berechnung: 

Verifikation: [17]

Daisuke Takahashi 2009 2.576.980.370.000 Gauß-Legendre-Algorithmus
Fabrice Bellard 2010 2.699.999.990.000 Chudnovsky-Algorithmus
Shigeru Kondo, Alexander Yee[18] 2010 5.000.000.000.000 Berechnung: Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes Formel und Bellards Formel
Shigeru Kondo, Alexander Yee[19] 2011 10.000.000.000.000 Berechnung: Chudnovsky-Formel, Verifikation: Plouffes Formel und Bellards Formel. Rechenzeit: 191 Tage

Alternative Kreiszahl τ [Bearbeiten]Bearbeiten

Der amerikanische Mathematiker Bob Palais schlug 2001 in einer Ausgabe des Mathematik-Magazins „The Mathematical Intelligencer“ vor, für , statt wie bisher den Quotienten aus Umfang undDurchmesser eines Kreises, in Zukunft den Quotienten aus Umfang und Radius (entsprechend ) als grundlegende Konstante zu verwenden.[20] Seine Argumentation beruht darauf, dass in vielen mathematischen Formeln der Faktor  vor der Kreiszahl auftauche. Ein weiteres Argument ist die Tatsache, dass  im Bogenmaß einen Vollwinkel darstellt, statt wie  einen halben Winkel, wodurch  weniger willkürlich wirkt. Eine neu normierte Kreiszahl,[21] für deren Notation Michael Hartl und Peter Harremoës den griechischen Buchstaben  (Tau) vorschlugen,[22] würde diese Formeln verkürzen. Nach dieser Konvention gilt dann . Der Vorschlag hat sich bislang nicht durchgesetzt.

Literatur [Bearbeiten]Bearbeiten

  • Jörg Arndt, Christoph Haenel: Π [Pi]. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin 2000ISBN 3-540-66258-8 (mit CD-ROM, 1. Auflage. 1998 - ohne CD-ROM, ISBN 3-540-63419-3).
  • Petr BeckmannA History of π. St. Martin's Press, New York City 1976ISBN 978-0-312-38185-1 (englisch).
  • Ehrhard Behrends (Hrsg.): Π [Pi] und Co. Kaleidoskop der Mathematik. Springer, Berlin / Heidelberg 2008ISBN 978-3-540-77888-2.
  • David Blatner: Π [Pi]. Magie einer Zahl. In: rororo Sachbuchrororo 61176, Reinbek bei Hamburg 2001 (Originaltitel: The Joy of Π [pi], übersetzt von Hainer Kober), ISBN 3-499-61176-7.
  • Jonathan BorweinPeter BorweinPi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. In: Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advan. 2. Auflage. Wiley, New York NY 1998ISBN 0-471-31515-X (englisch).
  • Egmont ColerusVom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. In: rororo-Sachbuch. rororo 6692, Reinbek bei Hamburg 1974 / 1982ISBN 3-499-16692-5.
  • Jean-Paul DelahayeΠ [Pi]. Die Story. Birkhäuser, Basel 1999ISBN 3-7643-6056-9.
  • Keith DevlinSternstunden der modernen Mathematik. berühmte Probleme und neue Lösungen. 2. Auflage. dtv-Taschenbuch 4591, München 1992 (Originaltitel: Mathematics, übersetzt von Doris Gerstner), ISBN 3-423-04591-4 (Lizenz des Birkhäuser-Verlags, Basel).
  • Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. In: Das moderne Sachbuch. 8., überarbeitete Auflage. Band 41, Ullstein, Berlin 1965 (ohne ISBN, früherer Titel: Du und der Zauber der Zahlen).
  • Karel Markowski: Die Berechnung der Zahl Π [(Pi)] aus Sinus- und Tangens-Intervallen. 1. Auflage. Trigon, Potsdam 2007ISBN 978-3-9810752-1-2.
  • Jakow PerelmanUnterhaltsame GeometrieVolk und Wissen, Berlin 1962.
  • Jürgen Petigk: Dreieckige Kreise oder wie man Π [Pi] mit einer Nadel bestimmen kann. Mathematische Rätsel, Training fürs Gehirn. Komet, Köln 2007ISBN 978-3-89836-694-6 (1998 alsMathematik in der Freizeit bei Aulis-Verlag Deubner, Köln erschienen, ISBN 3-7614-1997-X).
  • Karl Helmut Schmidt: Π [Pi]. Geschichte und Algorithmen einer Zahl. Books on Demand GmbH, Norderstedt [2001]ISBN 3-8311-0809-9.
  • Heinrich TietzeMathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. Beck, München 1990ISBN 3-406-02535-8 (Sonderausgabe in einem Band, 1990 auch als dtv-Taschenbuch 4398 / 4399, ISBN 3-423-04398-9 - Band 1 und, ISBN 3-423-04399-7 - Band 1).

Weblinks [Bearbeiten]Bearbeiten

 Commons: Pi – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien Wiktionary: Kreiszahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen*Albrecht Beutelspacher (Mathematikum Gießen): Mathematik zum Anfassen - Die Zahl  (Bayern α)

Einzelnachweise [Bearbeiten]Bearbeiten

  1.  pi to 10,000 digits. Peter Alfeld, Department of Mathematics, University of Utah; Eine Aufstellung der ersten 10 Millionen Stellen findet sich auf pibel.de
  2.  siehe z. B. Test mit den ersten 100 Millionen Stellen, siehe http://www.physorg.com/pdf3886.pdf
  3.  Siehe Euler's continued fraction formula: A continued fraction for π in der englischsprachigen Wikipedia.
  4.  William Jones: Synopsis Palmariorum Matheseos: Or, a New Introduction to the Mathematics. Containing the Principles of Arithmetic & Geometry. Demonstrated, in a Short and Easie Method; with Their Application to the most Useful Parts thereof: As, Resolving of Equations, Infinite Series, Making the Logarithms; Interest, Simple and Compound; The Chief Properties of the Conic Sections; Mensuration of Surfaces and Solids; The Fundamental Precepts of Perspective; Trigonometry; The Laws of Motion apply'd to Mechanic Powers, Gunnery, &c. Design'd for the Benefit, and adapted to the Capacities of Beginners. London: Matthews, 1706, S. 243 noch: „1/2 Periphery ()“ mit Angabe des Verhältnis von halbem Umfang zu Radius bzw. Umfang zu Durchmesser auf 100 Nachkommastellen genau; S. 263 dann: „3.14159, &c. = . […] Whence in the Circle, any one of these three, [area] a, [circumference] c, [diameter]d, being given, the other two are found, as, d = c ÷  = (a ÷ 1/4 )1/2c = d ×  = (a × 4)1/2a = 1/4  × d2 = c2 ÷ 4.“
  5.  William Oughtred: Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio. 1663. In: Clavis Mathematicae. Lichfield, Oxford 1667, S. 201–214, hier S. 203.
  6.  Vgl. David Eugene Smith: History of Mathematics. Band 2. Dover, New York 1953, S. 312 (The Symbol ).
  7.  Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin/ Heidelberg 2009, ISBN 978-3-642-02361-3, S. 172.
  8.  Siehe: Borwein, Pi and the AGM
  9.  Besonders offensichtlich ist das für die Hexadezimaldarstellung.
  10.  Ehrhard Behrends, Peter Gritzmann, Günter M. Ziegler:  und Co., Kaleidoskop der Mathematik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77888-2, S. 157.
  11.  E. Freitag: Funktionentheorie 1. Spinger Verlag, ISBN 3-540-31764-3, S. 87.
  12.  Für weitere Details siehe die Webseite von Bailey.
  13.  Delahayeπ die Story, 1999, S. 211
  14.  Das Lied auf YouTube mit Erklärung des Rhythmus in der Videobeschreibung, verfasst von einem der Gitarristen
  15.  Pi Computation Record Pressemitteilung auf Bellards Website
  16.  Pi-Berechnungsrekord auf handelsüblichem PC - Meldung vom 8. Januar 2010 18:54
  17.  Yasumasa Kanada: Current publisized world record of pi calculation is as in the followings. In: Kanada Laboratory home page20. Oktober 2005, abgerufen am 1. Mai 2010 (englisch).
  18.  Neuer Mathematik-Rekord: Ein amerikanischer Student und ein japanischer Tüftler haben nach eigenen Angaben die Kreiszahl Pi auf fünf Billionen Nachkommastellen genau berechnet. auf: Spiegel online. 5. August 2010.
  19.  Alexander J. Yee, Shigeru Kondo: Round 2... 10 Trillion Digits of Pi. auf: numberworld.org, 22. Oktober 2011.
  20.  Bob Palais: π is wrong! In: The Mathematical Intelligencer. Volume 23, Number 3, 2001, Springer-Verlag, New York, S. 7–8. Online verfügbar: PDF, 144Kb
  21.  Physiker will Pi abschaffen. auf: Spiegel online. 28. Juni 2011, abgerufen am 29. Juni 2011.
  22.  Tauday / The Tau Manifesto, abgerufen am 16. April 2011. Bob Palais selbst schlug zunächst ein doppeltes π vor, siehe Homepage von Bob Palais an der University of Utah, abgerufen am 15. April 2011

QuelleBearbeiten

Wikipedia

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